Відгадати дату народження.

    Фокус навчить, як відгадати дату народження.

    Секрет фокусу:

    Отже, для початку треба обрати "жертву", після чого попросити її про себе порахувати:

1. День свого народження (про себе) помножити на два.

2. До результату додати 5.

3. Отриманий результат помножити на 50.

4. Додати номер місяця, в якому народився.

    Попросіть людини сказати число. Потім просто відняти 250 від отриманого, і готово. Вийде 4 або 3 цифри. Перші 2 (може бути і одна цифра) - день, а дві останні – місяць народження.

Вірна сума.

    Для фокуса потрібні лише два гральних кубики. Киньте їх на стіл. Нижні межі кубиків Вам не видно. Візьміть кубики і покажіть ці грані глядачеві. Нехай він складе невидимі Вам очки. Відкладіть кубики в сторону і правильно назвіть шукану суму двох нижніх граней.

Секрет фокусу:

    Для цього вам потрібно знати, що на гральних кубиках сума протилежних сторін дорівнює семи. Якщо з одного боку 2 очка, значить, з іншого - буде 5. Вам видно верхню сторону кубиків. Припустимо, з вашого боку 4 і 1, тобто в сумі - 5. А загальна сума двох протилежних сторін на обох кубиках дорівнює 14. Значить, щоб назвати суму, відому глядачеві, від 14 відніміть 5. Назвіть її - 9. Адже на гранях кубиків, які бачив глядач, було 3 і 6 очок.

Сума непарних чисел.

    Просіть глядача за 1 хвилину порахувати суму всіх непарних чисел від 0 до 20 (без калькулятора). Швидше за все він не встигне. Говорите:

    - Ну ти і черепаха, спробуй ще раз, тільки хутчій, яка сума непарних від 0 до 45 включно?

    Швидше за все глядач відмахнеться, мовляв я до 20 то не зміг, а тут до 45 (тут уже можна і з калькулятором, але знову таки зробити обмеження в часі, щоб він ну ніяк не встиг). Ви ж легко рахуєте суму всіх непарних, навіть багатозначних чисел (тільки хто перевіряти буде).

Секрет фокусу:

     Потрібно до останнього (заданого) непарного числа додати 1, поділити на 2 і піднести до квадрату.

    Приклад: від 1 до 49 включно 49 +1 = 50, 50/2 = 25, 25 * 25 = 625.

    Якщо Вас попросять порахувати вже дуже велике число, то Вам доведеться таки скористатися калькулятором, але оскільки рахувати дуже мало, Ви це зробите за 10-15сек.

Знову і знову П'ЯТЬ.

    Простенький і коротенький фокус, де фокуснику навіть не треба нічого рахувати і думати.

    Просіть задумати будь-яке число (хоч 50-ти значне), потім просите додати до нього наступне по порядку, потім хай додасть до суми 9, розділить отримане навпіл, і відніме від результату задумане ним число. Ви легко називаєте число, яке у нього вийшло!

Секрет фокусу:

    Ви легко вгадуєте скільки у нього вийшло, тому що, яке б він число не загадав, після всіх підрахунків у нього завжди буде 5.

    Приклад: загадали 26, 26 +27 = 53, 53 +9 = 62, 62/2 = 31, 31-26 = 5.

    Загадали 565, 565+566 = 1131, 1131 + 9 = 1140, 1140/2 = 570, 570-565 = 5.

    Загадали 44444, 44444+44445 = 88889, 88889 +9 = 88898, 88898/2 = 44449, 44449-44444 = 5.

Додавання чисел Фібоначчі

    Числами Фібоначчі називають ряд чисел, в якому кожне,починаючи з третього, є сумою двох попередніх.

Секрет фокусу:

    Цей фокус демонструють так: показує просить когось записати одне під одним двоє будь-яких чисел, які він забажає. Припустимо для прикладу, що були обрані 8 і 5. Потім глядач повинен скласти ці числа. Знайдене таким чином третє число складається з другим (тим, що стояло попереду), і виходить четверте число. Цей процес повторюють до тих пір, поки в вертикальному стовпці не виявиться десять чисел: 8, 5, 13, 18, 31, 49, 80, 129, 209, 338.

    Під час запису чисел той, хто показує фокус, стоїть, повернувшись до глядачів спиною. Коли всі числа будуть записані, він повертається, проводить під колонкою цифр риску і, не замислюючись, підписує суму цих чисел. Щоб отримати цю суму, йому потрібно просто взяти четверте число знизу і помножити його на 11 - операція, яку неважко виконати в пам'яті. У нашому випадку четвертим числом буде 80, тому у відповіді вийде число 80, взяте 11 разів, тобто 880.

Живий комп'ютер

    Ви просите когось із глядачів написати в стовпчик двоє десятизначних чисел (чим більше значення числа, тим ефектніший фокус), потім під ними пишете своє  число, підводите риску і миттєво записуєте відповідь.

    Другий варіант цього фокусу: після того як Ви написали своє число просите  глядача, щоб під Вашим числом він написав ще десятизначне число, а потім знову пишіть своє і миттєво видаєте результат.

Секрет фокусу:

    Коли Ви пишете своє число, то обираєте його не довільно - сума кожної цифри цього числа повинна скласти з кожною цифрою числа глядача 9. Таким чином у Вас виходять не три різних десятизначних числа, а два з яких одне матиме всі дев'ятки. А значить Ви миттєво можете написати результат: треба просто переписати перше число глядача і поставити перед ним одиницю, а від останньої цифри відняти одиницю!

Приклад: 4563843274 + 7498854231 + 2501145768 = 1456384327

Математичні фокуси

Фокус з календарем

Вражати друзів за допомогою знань деяких математичних закономірностей дуже просто. Та ще й неабияк цікаво!

Скажіть присутнім, що легко зможете вирахувати суму дев’яти будь-яких чисел, які друзі загадають, не знаючи, що це за числа.

Для цього нехай хтось один відмітить на календарі дев’ять чисел так, щоб вони утворили квадрат, а вам лише назве найменше число із відмічених. І ви одразу, або ж трішки подумавши, назвете суму.

Секрет такий: для цього до названого числа додайте 8, а результат помножте на 9. Наприклад, закреслено так, як показано на малюнку. Отож, найменшою є цифра 3.

Далі робимо таким чином: 3 + 8 = 11, 11 х 9 = 99. Оголошуємо суму – 99.  Ну, тепер нехай друзі додають і перевіряють результат.

Звісно, спочатку необхідно навчитися гарно і швидко рахувати в умі.

Отож вперед вчити математику!

Таємниця дати народження

Для цього математичного фокусу Тобі потрібно знати дату народження (день і місяць) свою, або будь-кого іншого, а також калькулятор чи папір і ручка, щоб зробити правильні підрахунки.

Ну що, готовий до несподіванки? Тоді вперед!

Перший крок: день народження помножити на 2 (два);

Другий крок: до отриманого результату додати 5 (п’ять);

Третій крок: отримане число помножити на 50 (п’ятдесят);

Четвертий крок: додати номер місяця, в якому народився;

П’ятий крок: від отриманої суми віднімаємо 250 (двісті п’ятдесят);

Результатом має бути три або чотири цифри. Їх значення Ти, напевно, зрозумієш сам.))

Загадки чисел                                                              

Цю гру можна назвати також дослідом. Виконуючи кожну дію, будь уважним. Дотримуйся поданих вказівок.

І так, для початку Тобі потрібен калькулятор, або ж відкрий його на комп’ютері, і Твій номер телефону.

Тепер уважно читай завдання і ретельно виконуй кожну дію.

1. Для початку згадай або подивись три перші цифри свого номеру телефону. Зверни увагу, код оператора чи міста не враховується!

2. Множимо ці цифри на 80.

3. Наступний крок – це додавання до отриманого числа 1.

4. Число, отримане в результаті, множимо на 250.

5. Тепер згадай 4 останні цифри свого номеру телефону і додай їх.

6. Дію повторюємо знову, тобто ще раз додаємо 4 останні цифри Твого номеру телефону.

7. А зараз віднімаємо 250.

8. Отримане число ділимо на 2.

Відповіді на олімпіадні завдання

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 8 КЛАС с розвязками

1. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом другого числа.

Розв’язання. Нехай друге число х. Тоді ( 1) ( 1) . 3 3 x − x x + + x = x − x + x = x Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Складання правильного алгебраїчного виразу за відсутності подальших просувань або наявність помилки в перетвореннях - 3 бали. Отримання результату 3 3 1 3 2 x + x + x + без подальших просувань - 4 бали.

2. Є лист паперу в клітинку і олівці 6 кольорів. Зафарбуйте найменше число клітин так, щоб для будь-яких двох кольорів знайшлося дві клітини цих кольорів, що граничать по стороні. Доведіть, що менше

число клітин зафарбувати не можна.

Відповідь: 12 клітин.

Розв’язання. З умови випливає, що існують клітини кожного кольору. Якщо якогось кольору буде тільки одна клітина, то в неї має бути 5різнокольорових сусідів, що неможливо. Отже, кожного кольору хоча б по дві клітини, а всього - не менше 12 клітин. Приклад (не єдиний).

1 2 3 4

3 4 5 6

6 1 5 2

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Лише оцінка або лише приклад - 3бали.

Відповідь - 1 бал.

3. На острові проживають 2010 мешканців, кожен з яких або лицар(завжди говорить правду), або брехун (завжди бреше). Одного разу всі жителі острова розбилися на пари, і кожен про свого напарника

сказав одну із фраз: «він лицар» або «він брехун». Чи могло виявитися так, що тих і інших фраз було виголошено порівну?

Відповідь: ні.

Розв’язання. Якщо в парі стоять два лицарі або два брехуни, то вони один про одного скажуть «він лицар». Якщо в парі стоять лицар і брехун, то вони обидва скажуть «він брехун». Таким чином, кожна фраза виголошена парне число разів. Якби цих фраз було порівну, то кожна фраза пролунала

б по 2010: 2 = 1005 разів.

А це число непарне.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 0 балів. Якщо доведено одне з тверджень про пари лицар-лицар або брехун-брехун або брехун-лицар – 1 бал за кожне. Всі твердження разом - 3 бали.

4. ABCD - квадрат, AD = ВЕ = СЕ. Знайдіть кут AED.

Відповідь: 30 °, 150 °.

Розв’язання. Трикутник ВСЕ - рівносторонній. Можливі два випадки його розташування - усередині квадрата і зовні. У першому випадку кут АВЕ = 90 °+60 ° = 150 °,кут ВАЕ = ВЕА = 15 °, ЕАD = EDA = 90 ° - 15 ° = 75 °, AED = 180 ° - 2 · 75 ° ==30 °.

В другому випадку кут АВЕ = 90 ° - 60 ° = 30 °, кут ВАЕ = ВЕА = 75 °, ЕАD =EDA ==90 ° - 75 ° = 15 °, AED = 180 ° - 2 · 15 ° = 150 °.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Якщо розглянуто один випадок - 3бали. Якщо наведено тільки відповідь (обидва випадки) - 1 бал. Якщо одну правильну відповіді – 0 балів.

5. Є числа 1, 2, 4, 6. Дозволяється вибрати будь-які два з наявних чисел і помножити їх на одне і те ж натуральне число. Чи можна за кілька таких операцій зробити всі числа рівними?

Відповідь: ні.

Розв’язання: Розглянемо добуток даних чисел. Спочатку він дорівнює 48.Зауважимо, що число 48 не є квадратом натурального числа. Якщо якісь два з даних чисел множаться на деяке натуральне число n, добуток даних чисел множиться на 2 n . Отже, якщо воно не було квадратом натурального числа, воно їм і не стане. Але якщо всі наявні числа стануть рівними між собою, то їх добуток буде квадратом. Тому, такими операціями не можна вирівняти наявні числа.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Часткові просування або помилки оцінюються в залежності від їх величини та значущості.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 9 КЛАС

1. Ціна квитка на стадіон була 200 грн. Після зниження цін на квитки, кількість глядачів на стадіоні збільшилася на 50%, а виручка з проданих квитків збільшилася на 14%. Скільки став коштувати квиток

на стадіон після зниження ціни?

Відповідь. 152.

Розв’язання. Нехай х - кількість глядачів до зниження ціни, а у - нова ціна квитка. За умовою задачі 1,14 • 200х = 1,5 xy. Звідси у = 152.

Коментар. Правильна відповідь без жодного обґрунтування оцінюється в 1 бал. Правильно записане рівняння, але з помилкою в подальшому розв’язанні - 4бали.

2. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21».Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.

Відповідь. 84.

Розв’язання: Припустимо, що це число закінчується на 5. Тоді воно не може закінчуватись на 9, а тому, більше 20. Так як ціле число, більше 20, не може бути менше 21, і шукане число ділиться на 12. Але число, що ділиться на 12, парне, і тому не може закінчуватися на 5. Протиріччя. Отже, шукане число ділиться на 7. Єдине двозначне число, що ділиться на7 і закінчується на 9 - це 49. Але число 49 не ділиться на 12 і більше 21.Протиріччя. Тому шукане число більше 20 і ділиться на 12. Єдине двозначне число, що ділиться на 7 і 12 - це 84.

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Відповідь з перевіркою того, що він підходить - 2 бали. Якщо для кожного твердження виписані числа, які підходять для них, а потім з незрозумілих причин обрано правильну відповідь, то ставиться 3 бали. При правильній структурі перебору, але з помилкою, що вплинула на хід розв'язання, - 3 бали. Неправильне розуміння умови (тобто логічних зв'язків) - 0 балів.

3. Знайдіть всі цілі n, при яких число 30 5 10 4 2 n + n + буде точним квадратом.

Відповідь. Розв’язків немає.

Розв’язання: З рівняння ( 4 2 ) 2 5 6n + n + 2 = m випливає, що m є степенем числа 5. Однак 6 2 4 2 n + n + на 5 не ділиться ні за яких n , так як 4 n при діленні на 5 дає остачі 0 або 1, а 2 n при діленні на 5 дає остачі 0, 1 або 4.

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Правильна відповідь і зауваження, що квадрат числа повинен ділитися на 5-2 бали. Можливі подальші просування в розв’язанні, які слід оцінювати.

4. Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 120 . З середини основи опущено перпендикуляр на бічну сторону. В якому відношенні основа перпендикуляра ділить бічну сторону?

Відповідь. 3: 1, рахуючи від вершини основи.

Розв’язання. Нехай у трикутнику АВС АВ = АС, тоді ∠ ВАС = 120 . Позначимо: М - середину ВС, K – основа перпендикуляра, опущеного з точки М на сторону ВС. Так як ∠ АМK = ∠АВМ = 30 ,

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал.

5. У бригаді 101 кабан. Всі вони ходять на город групами їсти картоплю,причому кожні двоє ходили на город разом рівно по разу, однак вся бригада за один раз на картоплю не ходила. Доведіть, що один з

кабанчиків брав участь не менше, ніж у 11 походах за картоплею.

Розв’язання. Нехай в деякому поході беруть участь не менше 11кабанчиків. Тоді будь-який з кабанчиків, що не брали участі у цьому поході, сходить за картоплею не менше 11 разів з кожним з учасників. Якщо ж у кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків, то будь-який кабанчик брав участь не менш, ніж у 11 походах, так як він повинен сходити разом з кожним із 100 інших кабанчиків.

Коментар. Доведення твердження задачі для випадку, коли в поході беруть участь не менше 11 кабанчиків, оцінюється в 3 бали. Розгляд випадку, коли в кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків - 3 бали.

Роботи здати до 18.10.16.
Оцінювання 10,11,12 в журнал

ЗРАЗОК ПІДПИСУ

          РОБОТА
учасника І туру олімпіади з математики
   учня (учениці) .... класу
   Фастівської загальноосвітньої школи І-Ш ступеня № 1
      П. І. Б. 

ДО УВАГИ УЧНІВ

         
  

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 8 КЛАС

1. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом другого числа.

2. Є лист паперу в клітинку і олівці 6 кольорів. Зафарбуйте найменше число клітин так, щоб для будь-яких двох кольорів знайшлося дві клітини цих кольорів, що граничать по стороні. Доведіть, що менше

число клітин зафарбувати не можна.

3. На острові проживають 2010 мешканців, кожен з яких або лицар(завжди говорить правду), або брехун (завжди бреше). Одного разу всі жителі острова розбилися на пари, і кожен про свого напарника

сказав одну із фраз: «він лицар» або «він брехун». Чи могло виявитися так, що тих і інших фраз було виголошено порівну?

4. ABCD - квадрат, AD = ВЕ = СЕ. Знайдіть кут AED.

Відповідь: 30 °, 150 °.

5. Є числа 1, 2, 4, 6. Дозволяється вибрати будь-які два з наявних чисел і помножити їх на одне і те ж натуральне число. Чи можна за кілька таких операцій зробити всі числа рівними?

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 9 КЛАС

1. Ціна квитка на стадіон була 200 грн. Після зниження цін на квитки, кількість глядачів на стадіоні збільшилася на 50%, а виручка з проданих квитків збільшилася на 14%. Скільки став коштувати квиток

на стадіон після зниження ціни?

2. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21».Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.

3. Знайдіть всі цілі n, при яких число 30 5 10 4 2 n + n + буде точним квадратом.

4. Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 120 . З середини основи опущено перпендикуляр на бічну сторону. В якому відношенні основа перпендикуляра ділить бічну сторону?

5. У бригаді 101 кабан. Всі вони ходять на город групами їсти картоплю,причому кожні двоє ходили на город разом рівно по разу, однак вся бригада за один раз на картоплю не ходила. Доведіть, що один з

кабанчиків брав участь не менше, ніж у 11 походах за картоплею.